Exponentieller Prozess

Bei einem exponentiellen Prozess (Wachstum oder Zerfall) handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell (u.a. im Ggs. zu linear) ändert.

Wachstum

Das exponentielle Wachstum einer Größe ist ihre Zunahme im Laufe der Zeit gemäß einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit. Man beobachtet es, wenn die Ableitung dieser Größe nach der Zeit (d. h. ihre momentane Änderungsrate) positiv und proportional zur Größe selbst ist.

In der Umgangssprache wird der Begriff "exponentielles Wachstum" oft, aber unzutreffend, verwendet, um einen einfach beschleunigten Anstieg zu beschreiben, wenn die Ableitung selbst steigend ist.

Die Formel für das exponentielle Wachstum einer Variablen x mit der Wachstumsrate r im Verlauf der Zeit t in diskreten Intervallen (d. h. zu den ganzzahligen Zeiten 0, 1, 2, 3, ...) lautet

$${\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

wobei x₀ der Wert von x zum Zeitpunkt 0 ist.

Beispiel

Das Wachstum einer Bakterienkolonie wird häufig zur Veranschaulichung herangezogen. Eine Bakterium teilt sich in zwei, jede teilt sich wiederum und es entstehen 4, dann 8, 16, 32 und so weiter. Die Wachstumsrate steigt immer weiter an, da sie proportional zur ständig wachsenden Zahl der Bakterien ist.

Ein solches Wachstum ist bei Aktivitäten oder Phänomenen des realen Lebens zu beobachten, z. B. bei der Ausbreitung einer Virusinfektion, dem Wachstum einer Schuld aufgrund des Zinseszinses und der Verbreitung von Social-Media-Videos.

In realen Fällen hält das anfängliche exponentielle Wachstum oft nicht ewig an, sondern verlangsamt sich schließlich aufgrund von Obergrenzen, die durch externe Faktoren verursacht werden, und geht in logistisches Wachstum über.

Zerfall

Der exponentielle Zerfall einer Größe ist ihre Abnahme im Laufe der Zeit nach einem exponentiellen Gesetz. Er tritt auf, wenn die Ableitung dieser Größe nach der Zeit (d. h. ihre momentane Änderungsrate) negativ und proportional zur Größe selbst ist. Die Größe nähert sich monoton abnehmend immer langsamer der Null, erreicht diese aber nie.

In der Alltagssprache wird der Begriff "exponentielle Abnahme" häufig, aber unzutreffend verwendet, um eine lediglich verlangsamte Abnahme zu beschreiben, wenn der absolute Wert der Ableitung selbst abnimmt.

Da die Abnahme eine negative Änderung ist, lautet die Differentialgleichung (hier für zeitliche Abnahme geschrieben) jetzt

${\displaystyle -\tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A}$ (es ist üblich, ein positives ${\displaystyle \tau }$ anzunehmen und das Vorzeichen in die Gleichung zu schreiben)

und deren Lösung ist

${\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}$

${\displaystyle \tau }$ ist also die Zeitspanne, in der die Größe ${\displaystyle A}$ jeweils auf das ${\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}$ -fache (etwa 37 %) abfällt. Man nennt ${\displaystyle \tau }$ Zeitkonstante, in der Physik auch Lebensdauer.

Beispiel

Ein intuitiveres Merkmal des exponentiellen Zerfalls ist für viele Menschen die Zeit, die benötigt wird, bis die zerfallende Menge auf die Hälfte ihres Anfangswertes gefallen ist. (Wenn A(t) diskret ist, dann ist dies die mittlere Lebensdauer und nicht die mittlere Lebensdauer). Diese Zeit wird als Halbwertszeit bezeichnet und häufig mit dem Symbol t_1/2 angegeben.

Polonium-210 zum Beispiel hat eine Halbwertszeit von 138 Tagen und eine mittlere Lebensdauer von 200 Tagen.