Mathematik (kurz: Mathe) ist eine formale Wissenschaft, die sich unter anderem mit Zahlen, Mustern und abstrakten Strukturen befasst. Die Mathematik hat sich u.a. aus der Arithmetik und der Geometrie des alten Griechenlands entwickelt.

Etymologisch stammt das Wort „Mathematik“ aus dem Griechischen und kam über das Lateinische in die westlichen Sprachen. Das Wort máthēma leitet sich vom Verb manthánô („lernen“) ab. Es bedeutet „Wissenschaft, Wissen“ und dann „Mathematik“ von (mathḗmata).

Mathematik wird nicht nur selbstständig studiert, die erworbenen Kenntnisse werden auch in vielfältigen Alltagssituationen und in anderen Wissenschaften angewendet. Man spricht dann von angewandter Mathematik im Gegensatz zur reinen Mathematik. Allerdings ist die Trennlinie nicht sehr klar und was als reine Mathematik begann, hat später, wie sich herausstellte, regelmäßige Anwendungen.

Übersicht

Mathematische Strukturen werden mithilfe streng logischer Schlussfolgerungen aufgebaut. Als richtig erwiesene mathematische Aussagen nennt man Theoreme; sie treffen Aussagen über definierte Objekte und formulieren Beziehungen zwischen ihnen.
Mathematik ist keine empirische Wissenschaft. Sie ist rein intellektueller Natur und basiert auf für wahr erklärten Axiomen oder vorläufig akzeptierten Postulaten. Diese Axiome bilden die Grundlage und sind daher von keinem anderen Satz abhängig.
Eine mathematische Aussage – die nach ihrer Validierung im Allgemeinen als Theorem , Proposition, Lemma , Tatsache, Scholium oder Korollar bezeichnet wird – gilt als gültig, wenn der formale Diskurs, der ihre Wahrheit festlegt, eine bestimmte rationale Struktur beachtet, die als Demonstration oder logisch-deduktive Argumentation bezeichnet wird. Als Vermutung bezeichnet man eine Aussage, die noch nicht bewiesen ist, aber dennoch als plausibel gilt.

Während die Naturwissenschaften Entitäten in Zeit und Raum untersuchen, ist es nicht offensichtlich, dass das Gleiche für die in der Mathematik untersuchten Objekte gilt. Darüber hinaus unterscheiden sich die Untersuchungsmethoden: In den Naturwissenschaften werden eher Induktionsmethoden und in der Mathematik Deduktionsmethoden verwendet.
Aus den oben genannten und anderen Gründen wirft die Mathematik ontologische und epistemologische Fragen auf, die sich von der wissenschaftlichen Theorie unterscheiden. Diese Fragen werden in der Philosophie der Mathematik behandelt.

Domänen

Die Hauptbereiche der Mathematik entstanden ursprünglich aus der Notwendigkeit, geschäftliche Berechnungen durchführen zu können, die Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen, Land zu vermessen und astronomische Ereignisse vorherzusagen. Diese 4 Bedürfnisse decken sich im Wesentlichen mit folgenden 4 Bereichen:

  1. Mengen (Arithmetik)
  2. Strukturen (Algebra)
  3. Raum (Geometrie)
  4. Veränderungen (oder Analysis)

Es werden Aufteilungen der Mathematik in zwei, drei oder vier verschiedene Bereiche vorgeschlagen: Algebra und Analysis, oder Algebra, Analysis und Geometrie, oder Algebra, Analysis, Geometrie und Wahrscheinlichkeit. Solche Aufteilungen sind nicht offensichtlich und die Grenzen, die sie voneinander trennen, sind immer schlecht definiert.

Tatsächlich sind bei vielen Ergebnissen verschiedene mathematische Fähigkeiten gefragt. Ein Beispiel dafür ist der Satz von Fermat-Wiles, der 1994 aufgestellt wurde. Obwohl die Aussage des Satzes auf so genannte arithmetische Weise formuliert ist, erfordert der Beweis tiefgreifende analytische und geometrische Fähigkeiten.

Darüber hinaus gibt es weitere Teilgebiete, die sich mit den Verbindungen zwischen der Kernmathematik und anderen Domänen wie Logik, Mengenlehre und angewandter Mathematik befassen.

Algebra

Algebra ist die Gesamtheit der mathematischen Methoden zur Untersuchung und Entwicklung algebraischer Strukturen und zum Verständnis ihrer Beziehungen untereinander. Die Algebra im heutigen Sinne hat ihre historischen Ursprünge im Verständnis von Polynomgleichungen und in der Entwicklung von Lösungsmethoden: Die Forschungen in diesen Bereichen haben die Entstehung von Begriffen angeregt, die die Gruppentheorie, die Galois-Theorie oder auch die algebraische Geometrie begründen.

Analysis

In einem sehr engen Sinne ist die Analysis der Teil der Mathematik, der sich mit Fragen der Regularität von Anwendungen einer reellen oder komplexen Variablen befasst: Man spricht dann eher von reeller oder komplexer Analysis. In einem weiteren Sinne umfasst sie alle damit zusammenhängenden mathematischen Methoden sowie eine Reihe von Methoden zum Verständnis und zur Analyse von Funktionsräumen.

Geometrie

Die Geometrie versucht zunächst, Objekte im Raum zu verstehen, und befasst sich dann im weiteren Sinne mit den Eigenschaften abstrakterer, mehrdimensionaler Objekte, die nach verschiedenen Ansätzen eingeführt werden, die sowohl der Analyse als auch der Algebra zuzuordnen sind.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung versucht, alles, was mit dem Zufall zu tun hat, zu formalisieren. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist zwar alt, hat aber mit der Messtheorie eine Renaissance erlebt.

Statistik

In der Statistik geht es um die Sammlung, Verarbeitung und Zusammenfassung einer Reihe von Daten, die in der Regel umfangreich sind.

Computer

Als die ersten Computer entwickelt wurden, befassten sich die Mathematiker mit verschiedenen Problemen, die sich in diesem Zusammenhang stellten, was zu den Gebieten der Berechenbarkeit und der Informationstheorie führte. Viele dieser Probleme werden heute im Rahmen der theoretischen Informatik untersucht.

Um die Grundlagen der Mathematik zu klären und zu erforschen, wurden die Bereiche der Mengenlehre, der mathematischen Logik und der Modelltheorie entwickelt.

Neben der numerischen Analyse haben Computer auch zu Themen wie der Chaostheorie beigetragen, bei der es darum geht, dass viele dynamische Systeme in der Natur Gesetzen gehorchen, die ihr Verhalten in der Praxis unvorhersehbar machen, auch wenn es in der Theorie deterministisch ist. Die Chaostheorie ist eng mit der fraktalen Geometrie verwandt.

Auszeichnungen

Es gibt keinen Nobelpreis für Mathematik, obwohl Nobelpreise an Mathematiker verliehen wurden, insbesondere in den Bereichen Physik und Wirtschaftswissenschaften. Die renommierteste Auszeichnung für Mathematik ist die Fields-Medaille, die alle 4 Jahre an 2 bis 4 Mathematiker unter 40 Jahren verliehen wird. Der renommierteste Preis für das Lebenswerk ist der Abel-Preis, obwohl auch der Wolf-Preis ein hohes Ansehen genießt.